目录

  1. 线性空间到底是什么？
  2. 群、环、域、模
    • 群
      • 比群更简单的结构
    • 环
      • 除环
      • 域
  3. 模
  4. 线性空间的定义
  5. 为什么线性空间要定义在域上？
  6. 证明线性空间一定有基
    • Hamel 基
      • 存在性证明
  7. 模不一定有基
  8. 基在线性空间中的作用
  9. 参考链接

线性空间到底是什么？

线性空间

我们在学习线性代数的时候，通常见到的线性空间是由以下八个条件共同定义的：

设 $K$ 是一个数域，$V$ 是一个非空集合，同时还定义了：

  • 向量加法：$+:V\times V\to V$
  • 标量乘法：$\cdot:K\times V\to V$（$\cdot$ 也可省略）

且两种运算满足以下八条，则称 $V$ 是定义在 $K$ 上的线性空间，又称向量空间。

  1. 向量加法单位元存在：存在 $\theta\in V$ 使得 $\alpha+\theta=\alpha,\ \alpha\in V$，称 $\theta$ 为 $V$ 的零元素，即向量加法的单位元。
  2. 向量加法逆元存在：$\forall\alpha\in V,\ \exists\beta\in V$ 使得 $\alpha+\beta=\theta$，称 $\beta$ 为 $V$ 的负元素，即向量加法的逆元。
  3. 向量加法结合律：$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma),\ \alpha,\beta,\gamma\in V$
  4. 向量加法交换律：$\alpha+\beta=\beta+\alpha,\ \alpha,\beta\in V$
  5. 标量乘法单位元存在：存在 $1\in K$ 使得 $1\cdot\alpha=\alpha,\ \alpha\in V$，称 $1$ 为 $K$ 的单位元，即标量乘法的单位元。
  6. 标量乘法对向量加法的分配律：$c\cdot(\alpha+\beta)=c\cdot\alpha+c\cdot\beta,\ c\in K,\ \alpha,\beta\in V$
  7. 标量乘法对域加法的分配律：$(c_1+c_2)\cdot\alpha=c_1\cdot\alpha+c_2\cdot\alpha,\ c_1,c_2\in K,\ \alpha\in V$
  8. 标量乘法与域乘法的结合律：$(c_1c_2)\cdot\alpha=c_1(c_2\cdot\alpha),\ c_1,c_2\in K,\ \alpha\in V$

整整八条，实在劝退，有没有更简单的方式来表达这些呢？

维基百科上对线性空间的概括定义是：

$(K,+,\times)$ 是一个域，且 $V$ 是一个 $K-$ 模。

本文将从八个条件出发，根据抽象代数中域和模的定义，来解释这一句话。前半部分亦可作为抽象代数中基本概念的速览。

群、环、域、模

群

群是指一个集合 $G$，和一个运算 $\circ:G\times G\to G$（封闭性），满足以下条件：

  1. 结合律：$\forall a,b,c\in G,\ (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)$
  2. 单位元：存在 $e\in G$，使得 $\forall a\in G,\ e\circ a=a$，称 $e$ 为群的单位元（Identity），又称幺元。
  3. 逆元：对任意 $a\in G$，存在 $a^{-1}\in G$，使得 $a^{-1}\circ a=e$，称 $a^{-1}$ 为 $a$ 的逆元（Inverse）。

就称 $(G,\circ)$ 为一个群（Group）。需要注意的是，群不一定满足交换律；在群的定义的基础上，若还满足交换律 $a\circ b=b\circ a$，则称该群为交换群，又叫 Abel 群。

群的例子：

  1. $(\mathbb{Z},+)$：整数关于加法满足结合律、单位元 $0$ 存在、逆元 $-a$ 存在，构成一个群，不仅如此，这还是一个交换群。
  2. $(\mathbb{R}\setminus{0},\times)$：去掉零的实数关于乘法满足结合律、单位元 $1$ 存在、逆元 $a^{-1}$ 存在，构成一个群，也是一个交换群。
  3. 非交换群的一个例子：六阶二面体群

我们可以看出，线性空间定义的前 4 条，现在可以用一句话概括：

$(V,+)$ 是一个交换群。

比群更简单的结构

上面群的定义可以概括成封闭性、结合律、单位元、逆元四个条件，可以进一步分解为：

  • 满足封闭性就可以称为原群（Magma）
  • 满足封闭性、结合律就可以称为半群（Semigroup）
  • 满足封闭性、结合律、单位元就可以称为幺半群（Monoid）

环

不同地方对环的定义存在分歧，最常见的定义是以下这种：

若 $(R,+,\times)$ 满足：

  1. $(R,+)$ 是一个交换群
  2. $(R,\times)$ 是一个幺半群
  3. 左分配律：$a(b+c)=ab+ac$
  4. 右分配律：$(b+c)a=ba+ca$

则称 $(R,+,\times)$ 为一个环（Ring）。

环不一定满足乘法交换律，满足乘法交换律的环叫做交换环。

环的例子：

  1. $(\mathbb{Z},+,\times)$，是环。
  2. 实系数矩阵 $M_n(\mathbb{R})$ 是环。
  3. 有理系数多项式 $\mathbb{Q}[x]$ 是环。

除环

如果环中的任何非零元都存在乘法逆元，即：

$$\forall a\in R\setminus{0},\ \exists a^{-1}\in R\setminus{0},\ \text{使得 } a^{-1}\cdot a=1$$

则称 $(R,+,\times)$ 为一个除环。

域

交换的除环就是域（Field）。

$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 都是域。但是 $\mathbb{Z}$ 不是域，因为 $\mathbb{Z}$ 中只有 $1,-1$ 两个元素存在乘法逆元。

模

若 $R$ 是一个环，$1_R$ 是环的幺元，$(M,+)$ 构成一个交换群，且有一个运算 $\cdot:R\times M\to M$，称为标量乘法。

若这个标量乘法对所有 $r,s\in R$，$x,y\in M$，满足：

  1. $(r\cdot s)\cdot x=r\cdot(s\cdot x)$
  2. $r\cdot(x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
  3. $(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
  4. $1_R\cdot x=x$

则称 $M$ 是一个左 $R-$ 模。

若基于上面的定义，但交换标量乘法的运算顺序，则称 $M$ 是一个右 $R-$ 模。

线性空间的定义

到模这一步就已经很抽象了，恭喜你坚持到了这里，现在我们终于可以定义线性空间了：

$(K,+,\times)$ 是一个域，且 $V$ 是一个 $K-$ 模。

线性空间的八条定义里，前四条实际上规定了 $(V,+)$ 是一个交换群，而后四条正好就是模的定义中的四条。因此说 $V$ 是一个 $K-$ 模，这就是定义的后半句话。

那么，这个定义中的前半句话可不可以去掉呢？模的定义里已经要求 $K$ 是一个环了，但是线性空间这里，把环的这个条件加强到了域，这有必要吗？

为什么线性空间要定义在域上？

我们这里不去讨论这样定义的历史原因，而是去讨论其合理性。

这非常有必要，因为这个条件保证了线性空间存在基。熟悉线性代数的朋友都应该非常清楚，基是线性代数中非常重要的概念，没有了基，线性代数中很多定理都无法成立，线性空间优良的性质也不存在了。

要理解这个定义，我们首先要证明这个定义下，线性空间一定有基，而且这个证明需要用到 $K$ 是一个域的这个条件。

证明线性空间一定有基

我们学习线性代数的时候，通常讨论的是有限维线性空间，证明有限维线性空间存在基比较简单，并且不需要用到 Zorn 引理；此处为了证明的泛用性，我们的证明将涵盖无穷维线性空间。

Hamel 基

基有多种不同的定义，此处指的是最常用的 Hamel 基。Hamel 基的定义如下：

设 $V$ 为一向量空间，Hamel 基是指一组向量组 $H\subset V$，满足：

  1. $H$ 线性无关，即：任取 $H$ 中有限个向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in H$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_i\alpha_i=0$ 当且仅当 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0$。（注意此处加粗的”有限个”很重要）
  2. $H$ 可以张成整个 $V$，即 $\text{span }H=V$：

$$V=\left{\sum c_i\alpha_i : c_i\in K,\ \alpha_i\in H\right}$$

存在性证明

定理：任何线性空间都有 Hamel 基。

或者更进一步的，任何线性无关向量组都可以扩展出一组基：

定理：设 $S$ 是线性空间 $V$ 中的线性无关向量组，则存在 Hamel 基 $H\supset S$。

证明需要用到 Zorn 引理：

Zorn 引理：设 $\mathcal{S}$ 为一非空偏序集，若 $\mathcal{S}$ 中任意全序集都在 $\mathcal{S}$ 中存在上界，则 $\mathcal{S}$ 中必有极大元。

设 $\mathcal{S}$ 为 $V$ 中所有包含 $S$ 的线性无关向量组的集合，$(\mathcal{S},\subset)$ 构成一偏序集，显然 $\mathcal{S}$ 非空。设 $S_0\in\mathcal{S}$ 为一全序子集，则令 $X=\bigcup_{S_i\in S_0}S_i$，有：

  1. $X$ 是 $S_0$ 的上界：显然。
  2. $X\in\mathcal{S}$，只需证明 $X$ 线性无关。

下证 $X$ 线性无关：

由 $S_i$ 构成全序集，知可以令 $S_1\subset S_2\subset S_3\subset\cdots$。

任取有限个向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in X$，则由于 $X=\bigcup_{S_i\in S_0}S_i$，对任意 $\alpha_i$，存在 $j_i$，$\alpha_i\in S_{j_i}$。令 $j=\max{j_1,j_2,\cdots,j_n}$，则 $\forall i,\ \alpha_i\in S_j$。又因为 $S_j\in\mathcal{S}$，所以 $\alpha_i$ 构成的向量组线性无关。$\alpha_i$ 可以任取，由线性无关定义，$X$ 线性无关，且 $X\in\mathcal{S}$。

由 $X$ 是 $S_0$ 的上界且 $X\in\mathcal{S}$，应用 Zorn 引理，$\mathcal{S}$ 中必有极大元，设 $H$ 为一极大元，则 $H\supset S$ 且 $H$ 线性无关。

考察 Hamel 基的定义，线性无关已满足，还需证明 $H$ 可以张成 $V$。任取 $x\in V$，则 $H\cup{x}$ 一定线性相关。因为若线性无关，设 $H’=H\cup{x}$，则 $H’\supset H$ 且 $H’\in\mathcal{S}$，这与 $H$ 是极大元矛盾。

由 $H$ 线性无关、$H’$ 线性相关，知存在不全为零的 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 和 $c_{n+1}\neq 0$，使得

$$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n+c_{n+1}x=0$$

则

$$x=c_{n+1}^{-1}(c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n)$$

即任意 $x\in V$ 均可被 $H$ 线性表示，$\text{span }H=V$。

综上得证。

模不一定有基

回到我们原来的问题来，为什么线性空间一定要定义在域上？这是因为一般的模不一定存在基，存在基的模叫做自由模（Free Module），我们有：

除环上的模必为自由模。

考察我们上面的证明，最后一步中用到了 $c_{n+1}^{-1}$，这一步就要求了 $K$ 中存在乘法逆元，而模并不能保证这一点。

为了方便理解，下面举一个不存在基的模的例子。这个模就是 $\mathbb{Z}-$ 模 $\mathbb{Q}$。

证明 $\mathbb{Z}-$ 模 $\mathbb{Q}$ 不存在基：

设这个模为 $M$。首先，我们有任意两个非零元素都线性相关：$\forall p,q\in\mathbb{Q}\setminus{0}$，存在 $x,y\in\mathbb{Z}$，使得 $xp+yq=0$，这是显然的。

因此如果 $M$ 有基 $B$，一定有 $|B|=1$，设一个基为 $B={f}$，$f\in\mathbb{Q}\setminus{0}$，则 $\text{span }B={0,\pm f,\pm 2f,\cdots}$。显然 $f/2\in M$，$f/2\notin\text{span }B$。故这个基不能张成 $M$，矛盾。

基在线性空间中的作用

想到哪写到哪，早就偏题了，思绪比较混乱，望谅解。

为什么基这么重要？因为对于任何一个数学结构，只要能够证明它是一个线性空间，那么就可以取一组基，然后你就获得了整个线性代数，可以使用线性代数中熟悉的概念。而在群/环/模论中，不同的群/环/模可能有截然不同的性质，没办法这样通用地去研究。

例如在 Hilbert 空间里，傅里叶变换就是将函数变换到一组特殊的正交基上。

定义内积：

$$\langle\alpha,\beta\rangle=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}\alpha(t)\overline{\beta(t)},dt$$

选取正交基 $e^{i2\pi ft}$。

不难发现这组基是正交的：

$$\langle e^{i2\pi f_1 t},e^{i2\pi f_2 t}\rangle=\begin{cases}1 & f_1=f_2\ 0 & f_1\neq f_2\end{cases}$$

在此基础上我们就可以推出傅里叶变换：

把信号 $x(t)$ 用正交基 $e^{i2\pi f_n t}$ 表示为：

$$x(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\langle x,e^{i2\pi f_n t}\rangle e^{i2\pi f_n t}=\lim_{T\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{+T/2}x(t)e^{-i2\pi f_n t},dt\cdot e^{i2\pi f_n t}$$

其中 $f_n=\dfrac{n}{T}$。$\Delta f=\dfrac{1}{T}$，所以上式可以写成：

$$x(t)=\lim_{T\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta f\int_{-T/2}^{+T/2}x(t)e^{-i2\pi f_n t},dt\cdot e^{i2\pi f_n t}=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i2\pi ft},dt\cdot e^{i2\pi ft},df$$

由积分的定义可以将求和化为积分。

这个二重积分有着美妙的对称性，而且这里面就蕴含了傅里叶变换：

$$F(x)(f)=\hat{x}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i2\pi ft},dt$$

及其逆变换：

$$F^{-1}(\hat{x})(t)=x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{x}(f)e^{i2\pi ft},df$$

这种定义的傅里叶变换 $F$ 可以看作一个线性变换，$F$ 和 $F^{-1}$ 互为逆变换，$F^{-1}\circ F=\mathrm{id}$。

而我们熟悉的 Parseval 定理，其实也只是勾股定理的推广，这里说的是在不同的正交基下，向量的模长都等于坐标的平方和：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2,dt=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{x}(f)|^2,df$$

参考链接